Polär form - kan vi inte alltid använda det?

Förra veckan började vi med en repetition av vad vi redan gjort i komplexa tal. Sedan var det dags för det komplexa talplanet igen. Lektionens syfte var att eleverna skulle kunna markera z i det komplexa talplanet då │z-2+i│<3 och kunna förklara varför det såg ut så också. Vi arbetade alltså lite med vektorer!

Jag hade gjort en aktivitet i TiNSpire som de fick arbeta med, sedan fick de räkna några uppgifter i boken.

Lektionen efter (som är ganska kort) pratade vi om polär form. Vi hade redan gjort absolutbelopp och jag inledde med att fråga om det fanns något annat sätt att beskriva var i planet en punkt var. Vi är ju vana vid våra kartesiska koordinater. Eleverna kom snabbt fram till att det förutom sträckan behövdes en vinkel också. Lika snabbt gick de för dem att gå från den rektangulära formen till den polära. Det var ju bara att rita en triangel och skriva a och b i z=a+bi med hjälp av sinus och cosinus.

Ett varningens finger höjdes av mig när de skulle räkna ut argumentet, rita alltid figur! Vinkeln ni räknar fram med tangens är inte alltid argumentet, tänk efter innan ni skriver ner ert svar!

Sista lektionens mål var multiplikation och division i polär form. Jag har ofta fått frågan av elever varför man inte bara kan använda den rektangulära formen. Det har jag inte fått i denna klass men jag tänkte de skulle upptäcka fördelen då man multiplicerade och dividerade med polär form. De fick ut stencilen som jag lagt som en bifogad fil och blev uppmanade att försöka se sambandet. Jag hade ritat upp z1, z2 och z1·z2 i det komplexa talplanet. Jag hade också skrivit den rektangulära formen, absolutbeloppet och argumentet på de olika talen. Eleverna knäckte snabbt att vid multiplikation så multiplicerades absolutbeloppen och argumenten adderades. Vid division dividerades absolutbeloppen och argumenten subtraherades. En elev utbrast: Kan vi inte alltid använda polär form?

Sedan var det dags att bevisa detta. Jag bevisade fallet division och överlät multiplikation åt eleverna.

Sedan skrev jag upp z=r(cosv+isinv)

Eleverna fick sedan säga hur z2 kunde skrivas. Därefter  z3 och slutligen zn.

Eleverna fick räkna lite uppgifter på polär form. Oftast är de sista uppgifterna de som är bäst och roligast, fast att göra dem krävs en förståelse av begrepeppen. Att bara göra de sista fungerar säkert för vissa men jag tror de flesta behöver befästa sin kunska med några fler uppgifter. Som avslutning på veckan fick de fortsätta med gruppuppgiften

I figuren är åtta olika områden i det komplexa talplanet markerade med A, B, C, D, E, F, G och H. Cirkeln är en enhetscirkel med centrum i origo. Cirkeln och koordinataxlarna ingår inte i något av de marmarkerade områdena.

Bestäm i vilket eller vilka områden talet 1/z kan ligga om z ligger i B. 


För figur hänvisar jag till http://pb-ma.edmeas.napb.se/information/information/MAE-vt05.pdf eftersom jag inte får till det med bilden.

(Provbanksprovet vt 05, uppgift 16 )

Nu kan de använda både polär form och rektangulär form. Det ska bli spännande på onsdag och se vilket sätt de olika grupperna valt. Till nästa vecka har jag också halvt om halvt lovat en lite tävling. Någon form av Brasse-tvävling (en ska bort) hade jag tänkt. Några tips?

BilagaStorlek
Multiplikation och division med polära koordinater.pdf597.03 kB