Faktorsatsen

Som förberedelse inför faktorsatsen fick eleverna denna gruppuppgift som en repetition av andragradsfunktioner i B-kursen. Vi gjorde uppgiften på slutet av lektionen innan faktorsatslektionen. Jag var främst ute efter att de skulle komma ihåg andra skrivsättet eftersom jag tidigare sett att de haft svårigheter med att skriva ett tredejgradspolynom som har tre helttalsrötter.

 

Fördelarna med andragradsfunktionens olika skrivsätt

 En andragradsfunktion kan man med fördel skriva på tre olika sätt:

1)   f(x)=x2+4x-12   

2)   f(x)=(x+6)(x-2)  

3)   f(x)=(x+2)2-16

Ovan är en och samma andragradsfunktion skriven på tre olika sätt. Nedan är grafen till andragradsfunktionen uppritad.

I varje skrivsätt ovan kan man se en (eller två) speciell egenskap hos grafen direkt. Kan du se vilka egenskaper jag menar?

 

 

 

När grupperna knäckt detta (vilket inte tog lång tid) så pratade vi lite om andra skrivsättet ( f(x)=(x+6)(x-2) ). Hur ser f(x)=2(x+6)(x-2) ut? Det är ju samma nollställen!

 

På lektionen med faktorsaten gick jag inte igenom satsen först utan använde mig av TiNSpire och fyllde på dokumentet efter hand. Målet var att få eleverna att själva se sambandet vilket de gjorde kvickt. Efter en kort repetition av polynomdivision var de igång med ekvationslösning av tredjegradsekvationerna.

 

 

 

Givetvis dök frågan om tredjegradsekvationer med inte fullt så "fina" lösningar (där man kunde gissa en). Jag började med att säga att här i skolan kommer bara sådana dyka upp varpå en elev fyllde på lite skämtsamt "Och i riktiga världen finns det bara sådana också!". Jag tog tillfället i akt och berättade om duellen mellan Fior och Tartaglia. 

Efter att eleverna fått prova på en uppgift själva tittade vi på faktorsatsen.

Jag skickade då även ut dessa frågor som snabbfrågor i navigatorprogrammet till eleverna som jag tänkte att de skulle lösa mha faktorsatsen. (De tar emot sin fråga på sin dator, svarar och på tavlan kan man se hur många som svarat olika svar.) Efter varje fråga diskuterar vi hur man tänkte när man löste uppgiften.

Är x3+3x-4 är delbart med x+2?

Är x4+2x2-3 är delbart med x2-1?

Andra frågan diskuterade vi lite mera omkring. Vi måste kontrollera både fakton x-1 och faktorn x+1!

 

Vi tittade också på restsatsen.

Slutligen tittade vi även tillbaka till frågan om andragradsekvationen som eleverna fick i början av kapitlet med komplexa tal: Om en andragradsekvation endast har reella koefficienter, kan den då ha en lösning som har en  imaginär del i sig och en som inte har det? Vi insåg då att om en lösning innehöll en lösning med en imaginär del så var även konjugatet en lösning. Utan att gå in nämare på det så nämnde jag att om en polynomekvation endast har reella koefficienter och vi vet en lösning med en imaginär del så är även konjugatet en lösning (detta ingår inte i gymnasiekursen).

 

BilagaStorlek
Andragradsfunktion.jpg31.4 kB
Faktorsatsen.jpg69.29 kB