Volym av roterande kroppar

Hej alla läsare, jag sitter för tillfället fullt upptagen med att repetera detavslutande kapitlet i E-kursen vilket handlar om berkäningar på volymen av roterande kroppar ( Den allmäna Volymsatsen). Då jag känner att det är detta avsnitt jag har sämst koll på tyckte jag det verkade lämligt att bärja med  det!     

 

Allmäna volymsatsen handlar om två typer av roterande kroppar. Rotationen kan antingen ske runt x eller y-axeln. Enligt fig. nedan. 

 

 

Hela principen gäller att finna ut en funktion som beskriver tvärsnittet (arean) i den roterande kroppen, med hjälp av den funktion som beskriver den yttre, avgränsande linjen för kroppen.  

För att göra det enkelt för oss kan vi utgå från det övre exemplet, där vi ser att y=x. Alltså en mycket enkel funktion. eftersom höjden är lika med bredden på konen är radien således lika med x i varje punkt. 

Vi kan nu sätta in detta i funktionsuttrycket för en cirkelns area. A = r2 ·Π. Således har ett tvärsnitt i varje given "skiva" på konen arean x·Π   

För att nu få fram volymen av hela konen måste vi nu integrera areasatsen med gränsvärden för de x-koordinter som avgränsar konen, vilket vi kan se här är 0 samt 1.    

Volymen av exempel 1 är således: 

∫A(x) = Π ·∫x2 = Π · [x3/3]10   Vilket ger oss svaret Π/3 volymenheter (v.e.)   

(Eftersom Π är en konstant valde jag att flytta ut den ur integralen för enkelheten skull, även om det givetvis inte är något måste.)

Att beräkna volymen av en kropp som roterar kring x-axlen är alltså inte svårare än såhär, men om man har ett lite mer komplicerat uttryck för radien (r) kan det lätt bli lita småjobbigt med tanke på att man ofta först måste kvadera funktionsuttrycket och sedan även integrera det vilket, med en halvlång ursrungsfunktion lätt kan bli en smått överväldigande uppgift!  

 

Det var allt jag hade at berätta om idag ha det bra kära läsare!