Taluppfattning

Det har varit tenta på sista tredjedelen av kalkylkursen, och som vanligt inkommit klagomål på frågorna. Det brukar det ju göra, men jag är lite förvånad över innehållet i klagomålen. I en av frågorna ingick att rita kurvan y = cosπx. Detta var tydligen oerhört lurigt! Jag, som valt uttrycket därför att det är lätt att rita, försöker nu förstå vad problemet är.

I del 1 av kursen ingick dels att lära sig graferna för alla de elementära funktionerna (cosinus bland dem) och dels att känna till förhållandet mellan y = f(x) och y = f(ax). Har man den kunskapen ska det inte vara några problem att rita y = cosπx.

Den slutsats man främst kan dra är väl att studenterna inte har denna kunskap, utan att den raderats ur minnet efter första delskrivningen. Men det verkar som om detta inte är förklaringen. Tydligen var den stora stötestenen ”π. Om jag bett om kurvan y = cos2x hade det antagligen gått bra. Hade jag haft denna kurva hade jag dock varit tvungen att ta till ett uttryck med π för linjen som skär cosinuskurvan (åtminstone om jag velat att skärningspunkten skulle vara möjlig att beräkna, vilket var själva poängen med uppgiften). Och hade jag gjort detta hade jag fått klagomål på en totalt omöjlig linje!

Det här får mig att fundera på studenternas taluppfattning. För mig är det ingen egentlig skillnad på ”2” och på ”π”; de är tal. För mig är ett tal något som motsvarar en plats på tallinjen, och som kan representeras med ett (eventuellt oändligt) sifferuttryck. Hur ser studenternas taluppfattning ut?

En del studenters taluppfattning är lätt att förstå – de har aldrig kommit längre än till antal, de naturliga talen. Det är de studenter som, då de får i uppgift att hitta största och minsta värde för f(x) på intervallet [0, 4], kontrollerar värdet för 0, 1, 2, 3 och 4 och som inte förstår vad man menar då man säger att det finns fler punkter än så i området. Att man kan ha denna taluppfattning tycker jag inte är så konstigt – däremot tycker jag att det är konstigt att man dessutom kan ha ett godkänt slutbetyg i gymnasiematematik! (På en höft skulle jag säga att ca 10% av studenterna ligger på denna nivå.)

Men de övriga – de som vet att 3,14 är ett tal men som inte inser att även π är det? Hur ser deras taluppfattning ut? Jag känner att jag inte förstår den, och så länge jag inte har förstått vet jag inte riktigt hur jag ska gå till väga för att modifiera. Det verkar som att det för dessa studenter finns ”tal” och ”symboler”; att symbolerna vanligtvis symboliserar tal verkar fattas. (Strikt definitionsmässigt är ju även siffrorna symboler, men deras innebörd verkar vara ordentligt internaliserad. Nästan för internaliserad, tycker jag ibland. Siffrornas innebörd är en överenskommelse, inte en naturlag.)

En hel del forskning (av den typen där jag läst sammanfattningen av sammanfattningen men inte själva forskningsrapporten) pekar på att miniräknare – rätt använda – kan bidra till taluppfattningen. Jag kanske borde läsa detaljerna i forskningen, och jag tror att det är viktigt att titta på bruket av senaste generationens miniräknare. Jag tror att det är en väsentligt skillnad på vad man får ut från de räknarmodeller som levererar svar stegvis och de som enbart levererar ett slutsvar. Det skulle inte förvåna mig om den förstnämnda modellen bidrar betydligt mer till taluppfattningen än vad den senare gör.

Nå, på högskolan har vi sett så mycket av felaktigt räknarbruk att vi kör med ”inga miniräknare” som policy. Jag är inte alls övertygad om att detta är den mest optimala strategin, men den är åtminstone enkel. Men vad jag kan se så är det alltså många som uppfattar räkningarna som manipulation av symboler utan innebörd, och som inte ser att det är talräkning på symbolisk form. Vad kan man göra för att få in innebörden också?

Jag har åtminstone kommit fram till en sak: På nästa års inlämningsuppgifter ska jag lägga in ett riktigt slamkryparproblem på derivator, nedlusat med rötter, trigonometriska saker, ”e”, logaritmer osv. som dock allihop bara motsvarar konstanter och som deriveras som konstanter. Denna snubbeltråd (utlagd i ett sammanhang där det enda som händer är ”gör om talet”) borde leda till reflektioner om vad som egentligen är tal och vad som är funktioner. Det är värt ett försök, i alla fall!