Differentialekvationer del 1

Nu har vi kommit fram till differentialekvatoner. Jag tänkte att i år ska jag börja lite annorlunda mot vad jag tidigare och gjort. Jag var inspirerade av Anders Logg som skrev i boken Människor och matematik - en läsebok för nyfikna "Slutsatsen är att vi visserligen inte kan beräkna lösningen till endifferentialekvation exakt, men att detta inte spelar någon roll eftersom vi kan beräkna lösningen med precis den noggrannheten vi behöver".

Efter en introduktion av vad en differentialekvation är och hur den uppkommer så brukar jag låta eleverna lösa enkla differentialekvationer av första ordningen. I år tänkte jag istället börja med riktningsfält efter introduktionen. 

 

I introduktionen pratade vi om vad en differentialekvation är för något och hur den uppkommer. Att lösningen till en differentialekvation är en funktion brukar några elever alltid tycka vara underligt men denna klassen accepterade det med en gång. Sedan pratade vi om vad händer då vi man inte kan få fram den exakta funktionen. Detta blev introduktionen till riktningsfält och att stega sig fram till ett funktionsvärde för ett visst x. 

Eleverna fick ett antal uppgifter i TiNSpire som de arbetade med. Uppgifterna gick ut på att finna differentialekvationen och sedan bestämma funktionsvärde för ett visst x. I programmet skulle de först finna differentialekvationen, sedan låta programmet rita upp riktningsfältet. Sen skrev de in sitt begynnelsevärde och lät programmet stega och rita upp funktionen. Eleverna kunde då läsa av sitt svar på uppgiften.  Förutom att eleverna skulle bekanta sig med riktningsfältet var detta en övning i att formulera en enkel differentialekvation utifrån en text. 

En uppgift kunde se ut så här: 

Folkmängden i en by växer med en hastighet som är 4,5% per år av den aktuella folkmängden. 1/1 2000 var folkmängden 50 personer.

a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver detta förlopp.

b) Rita in riktningsfältet till din differentialekvation med ditt begynnelsevillkor.

c) Hur många personer finns i byn efter ungefär 20 år?

En skärmbild från deras dator:

Diffekv

 

Vissa elever tyckte det var svårt att förstå själva differentialekvationen. Varför ska man inte ha förändringsfaktorn här utan endast procentsatsen? Vi hade en lite diskussion om att det är hur stor förändringen är som ekvationen beskriver och den är ju 4,5% av antalet personer vid just den tidpunkten. 

Nästa lektion ska vi ge oss in på Eulers stegmetod.

BilagaStorlek
Ej namngiven 3.jpg42.34 kB